жизнь на других планетах

Задача 108-4. Спортлото и жизнь на других планетах Пётр Маковецкий. А. Читая научную литературу, иногда встречаешь утверждения, вызывающие острое желание испытать их на прочность. Это можно сделать многими путями. Один из них – проверка предпосылок, следствием которых является утверждение. Другой – извлечение следствий из самого утверждения и их анализ на правдоподобие. Если они оказываются правдоподобными, то это увеличивает шансы на правильность утверждения, в противном случае – ставит его под сомнение. Вот одно из утверждений, достаточно далеко идущих и поэтому интригующих. Н. Рашевский вычислил общее количество различных биологических видов Ν , существование которых, по его мнению, принципиально возможно*. По этим расчетам, N . Это число первым путем проверить трудно: мы недостаточно компетентны в биологических предпосылках и математических методах, которыми оно получено. Пойдем вторым путем: будем извлекать следствия, считая N правильным, и посмотрим, что из этого получится. * N. Rashevsky «Topology and Life», «Bulletin of Mathematical Biophysics», 1954, v. 16, p. 317; краткое изложение – в книге И.А. Акчурина «Единство естественнонаучного знания», «Наука», 1974, стр. 108. На Земле в данное время имеется около 2 млн видов* (1,5 млн видов животных и 0,5 млн – растений), т.е. в 50 раз меньше, чем их может быть вообще. Если же учесть, что многие виды существовали раньше, но вымерли, и на всю длительность эволюции накинуть еще 2 млн видов, то всего на Земле уже реализовано n из N возможных. Н. Рашевский выдвигает смелую гипотезу, что биологическая система (в дальнейшем, для краткости, – биология) другой планеты может состоять из других видов, входящих в названное число N . Мы принимаем и эту мысль, потому что она правдоподобна и, кроме того, что уж совсем ненаучно, она нам нравится. * «Общая биология», учебник для 9...10 классов, под ред. Ю.И. Полянского, «Просвещение», 1973, стр. 10. Давайте, однако, решим такую задачу. Поскольку, по-видимому, жизнь на планетах у разных звезд возникала независимо, то, скорее всего, многие виды у обеих биологий неодинаковы, но есть шанс, что некоторые из видов совпадут. Будем считать, что обе биологии обладают одинаковой мощностью n , и найдем вероятность того, что вторая биология перекрывается с земной хотя бы в одном из видов. Сведения по теории вероятностей, которые нам понадобятся, настолько элементарны, что они найдутся практически у каждого из вас. Б. Событие A : «Две биологии перекрываются хотя бы в одном из видов» – очень сложное, оно распадается на множество более простых: и т.д. вплоть до полного совпадения по всем видам. Подсчитать W ( A ) – вероятность события A – значит подсчитать ее для всех взаимоисключающих вариантов A и затем сложить. Это громоздко. Проще вычислить вероятность противоположного события A и потом, воспользовавшись тем, что прямое и противоположное события составляют полную группу событий A и , для которой W ( A ) + W ( ) = 1, найти W ( A Итак, W ( ) есть вероятность того, что ни один из видов биологии-2 не совпадает с соответствующим видом биологии-1 (земной). Задача несколько прояснится, если мы предварительно решим похожую, другую, более житейскую и с меньшим числом возможных исходов. Как известно, в карточке спортлото всего N = 49 номеров, подчеркнуть нужно n  = 6 номеров (чем больше угадаешь, тем больше выигрыш), В данном случае W ( A ) есть вероятность того, что вы угадаете хотя бы один номер (т.е. или один, или два, ..., или шесть). Здесь противоположное событие W ( ) есть вероятность того, что вы не угадаете ни одного номера. Аналогия будет понятнее, если мы будем считать, что тираж уже состоялся, 6 некоторых номеров уже выиграли, отмечены в тиражной таблице, но нам результаты еще не известны (угадывать до тиража принято только во избежание злоупотреблений). Земная биология есть таблица на 10 номеров, по которой «тираж» уже состоялся: 4·10 номеров (видов) уже выиграли, остальные – нет. Биология-2 «подчеркивает» свои номера, ничего не зная о том, какие номера выиграли у нас. В. Итак, в таблице спортлото подчеркнуты (или будут подчеркнуты) неизвестные нам 6 номеров из 49. Подчеркивая в своем билете наугад одну из цифр, мы имеем 6 шансов из 49 угадать, а остальные 49 – 6 = 43 – не угадать. Вероятность не угадать при первой попытке W ( ) = 43/49. где W ( ) – вероятность не угадать во второй попытке при условии, что мы не угадали в первой. Легко видеть, что W ( ) = (48 – 6)/48 = 42/48. В самом деле, теперь мы подчеркиваем один из 48 номеров (а не 49): не будем же мы еще раз подчеркивать уже подчеркнутый номер; в числителе вычитается по-прежнему 6, потому что мы исходим из условия, что не угадали в первый раз (условие 1, см. выше): W ( ) = (43/49)·(42/48). W ( ) = (43/49)·(42/48)·(41/47). И, наконец. Итак в спортлото шансы не угадать вообще ни одного из шести номеров довольно велики: 44 из 100. Очевидно, вероятность угадать хотя бы один номер W ( A ) = 1 – W ( ) = 1 – 0,44 = 0,56. W ( ) = (43·42·41·40·39·38)/(49·48·47·46·45·44)·(43!/43!)·(37!/37!). W ( ) = (43!43!)/(49!37!) = [( N – n )!( N – n )!]/ N !( N – 2 n )!. Теперь перейдем к биологии. Здесь вместо шести сомножителей-дробей в формуле (3) их будет четыре миллиона: W ( – 2 ...·(10 – 3 999 999, Вычислить непосредственно это число вручную – непосильный труд. Для обхода этой трудности существует приближенная формула Стирлинга: Относительная ошибка здесь меньше, чем второе слагаемое в скобке, которое при m составляет около одной миллиардной от всего результата. В конечном итоге ошибка будет еще меньше, так как после подстановки (5) в (4) скобки числителя и знаменателя почти точно сокращаются. Поэтому второе слагаемое скобки мы можем отбросить. Кроме того, сокращаются (точно) e W ( ]]}·√[(96·96)/(100·92)]. ], получим W ( ]·(96/[10√[92]]). lg W ( (2·1,9823 – 2 – 1,9638) + 8·10 (1,9823 – 2) + 0,0004 ≈ ·0,0008 – 8·10 ·0,0177 = – 68 000. W ( . Остается преодолеть одну вычислительную трудность: поскольку мы пользовались четырехзначной таблицей логарифмов и в скобке вычитались друг из друга близкие числа, то относительная ошибка разности логарифмов существенно превосходит относительную ошибку самих логарифмов. В частности, мы не можем в числе 0,0008 поручиться даже за один-единственный знак, который там есть. Следовало бы взять, например, семизначную таблицу логарифмов, которой, однако, у автора под рукой не оказалось*. Но в этой задаче есть возможность поступить иначе. Можно обойтись оценкой числа W ( ) сверху, т.е. таким числом, которое не слишком отличается от W ( ) и в то же время достоверно больше его. Вероятность W ( ) будет наверняка больше истинной, если вместо 0,0008 мы возьмем 0,001 (наверняка большее истинного) и вместо 0,0177 возьмем 0,016 (наверняка меньшее). Тогда * Не надо считать автора лентяем: найти семизначную таблицу было бы значительно проще, чем суметь обойтись без нее не в ущерб задаче. Оценка сверху – тоже один из приемов при вычислениях. Его тоже полезно принять на вооружение. lg W ( ·0,001 – 8 – 10 ·0,016 = – 36 000. Теперь мы можем утверждать, что W ( . Обратите внимание на то, что мы отважно идем на преувеличение W ( и тем не менее получаем результат, выводы из которого останутся* теми же. * Кстати сказать, более точный результат (с помощью цифровой вычислительной машины, заменившей десятичную таблицу логарифмов) еще более впечатляющ: W ( A . Что это за выводы? Главный: вероятность полного несовпадения двух биологий невообразимо мала. Слово «невообразимо» здесь не для красного словца: число 10 действительно невообразимо. Это число с полным спокойствием и чистой совестью перед нашей конкретной задачей можно считать нулем. И, следовательно, согласно формуле (1) W ( A ) = 1 , т.е. факт перекрытия двух независимых биологий хотя бы в одном из видов – достоверен*. (Должно быть не менее 10 биологий, чтобы хотя бы один случай полного несовпадения стал реальным. Но ведь во всей видимой Вселенной звезд всего лишь 10 . Значит, для одного случая полного несовпадения нужно иметь 10 Вселенных (!!), причем имеющих биологию у каждой звезды.) * Для любителей математических тонкостей достоверности рекомендую книгу Э. Бореля «Вероятность и достоверность», Физматгиз, 1961. Из достоверности этого факта следует парадоксальный вывод: все биологии похожи друг на друга! Ведь совпадение в одном из видов (неважно в каком, пусть даже в вымершем!) делает биологии практически родственными, так как каждый вид родствен всем (или большинству) видам своей биологии, а его двойник в другой биологии – всем видам своей (мы исходим из гипотезы о единстве происхождения всех или хотя бы большинства видов внутри данной биологии*)). Это, в частности, сильно увеличивает шансы на наличие других цивилизаций и на возможность контакта с ними. * На Земле бактерии и сине-зеленые водоросли считаются неродственными остальной биологии (животным + растениям). См. стр. 71 упомянутого учебника биологии. Интересно подсчитать, сколько в среднем видов в двух биологиях оказываются совпадающими. Пусть наша биология является мишенью (по форме напоминающей таблицу спортлото), содержащей N квадратиков, из которых n зачернены. Биология-2 делает n «выстрелов» по этой мишени. Стреляет куда попало, но не мимо таблицы (это означало бы, что в биологии-2 существуют виды, не входящие в число 10 ). Сколько в среднем будет попаданий в черные квадратики? Поскольку черные квадратики составляют m  =  n / Ν  = 1/25 часть всей мишени и стрельба ведется беспорядочно, то 1/25 часть всех выстрелов придется на черные квадратики, т.е. число совпадающих видов M M = nm = n 2/ N = 160 000. Это число может вызвать некоторые сомнения. Для уточнения следовало бы учесть, что при беспорядочной стрельбе возможны и двойные (и тройные) попадания в один квадратик, что в стрельбе естественно, а в биологии не имеет смысла: это означало бы, что «стреляющая» биология уже внутри самой себя содержит два (или три) совпадающих вида. Но совпадающие виды – это один вид, т.е. совпадающие результаты надо считать за один выстрел. Поэтому более подходящей моделью является такая мишень, из которой после каждого выстрела изымается пораженный квадратик (черный или белый), а следующий выстрел обязательно попадает в один из оставшихся квадратиков. Однако эта уточненная модель даст то же самое. Ведь из-за двойных и тройных попаданий в отдельные квадратики некоторые другие квадратики не получат причитающейся им пули. Поэтому после окончания стрельбы (4·10 выстрелов) M’ будет меньше вычисленного M . Но если подсчитать «излишки» пуль, полученных некоторыми квадратиками, и произвести соответствующее дополнительное число выстрелов (повторяя, если надо, эту процедуру несколько раз), то в пределе мы как раз и получим M  = 160 000. Впрочем, M’ ненамного меньше М : вероятность двойного попадания в один квадратик равна m  = 1/625, тройного – m и т.д. Число совпадающих видов M  = 160 000 является наиболее вероятным, отклонения от него возможны в обе стороны (теоретически вплоть до M  = 0 и до M  =  n ), однако с помощью теории вероятностей можно показать, что отклонение от M на 10√[ M . Итак, практически достоверно, что M = 160 000 ± 4000. 160 000 совпадающих видов! 160 000 прямых «родственных связей» между двумя биологиями! А еще надо учесть, что остальные, несовпадающие виды косвенно родственны совпадающим! Можно ли в такой ситуации ожидать, что вторая биология существенно отличается от первой, земной? Можно сделать и еще один, самый сенсационный, пожалуй, вывод. Поскольку средняя плотность видов равна n / Ν , то такова же должна быть в среднем и вероятность совпадения для каждого ко